Giovedì 5 ottobre 2023 è venuto a mancare Giuseppe Da Prato, socio nazionale dell’Accademia dei Lincei, professore emerito della Scuola Normale Superiore in Pisa, dove è stato professore ordinario di analisi e probabilità dal 1979 al 2008. Aveva 87 anni.
Nato nel 1936 a La Spezia, si laureò nel 1960 in fisica presso l’Università di Roma “La Sapienza” di cui in seguito divenne ordinario della cattedra di Analisi matematica, per poi passare all’Università di Trento e infine alla Scuola Normale di Pisa, dopo molti periodi di visiting presso atenei francesi e statunitensi. Vincitore nel 1969 del Premio Bartolozzi dell’Unione Matematica Italiana per i giovani matematici, ha avuto molti riconoscimenti dalla comunità nazionale e internazionale.
È stato mentore di decine di matematici, ora attivi in Italia e nel mondo che lo ricordano con grande ammirazione ed affetto e senza retorica riconoscono che ha creato una vera scuola.
Da Prato è stato particolarmente produttivo, con all’attivo quasi 400 pubblicazioni e diverse monografie, a partire dal 1961, citate in oltre 25.000 articoli scientifici. Si è interessato di diversi campi, dando in tutti contributi fondamentali. In sintesi, si è occupato di analisi funzionale, teoria dei semigruppi ed equazioni alle derivate parziali, allargandone poi l'uso in teoria del controllo ed alle equazioni alle derivate parziali stocastiche, culminando nell'analisi stocastica in dimensione infinita. Di seguito, con inevitabili omissioni sia di temi sia di collaboratori, cercheremo di tracciare alcuni elementi di questa intensa storia scientifica.
La parte preponderante del contributo di Da Prato alla ricerca matematica è stata sulle equazioni di evoluzione, sia deterministiche che stocastiche. Per le equazioni di evoluzione deterministiche a derivate parziali, sia differenziali che integrodifferenziali, interpretate come equazioni in spazi di Banach, ha sviluppato metodi di analisi funzionale che hanno permesso di trattare in modo unificato una quantità di problemi diversi. Il lavoro con Pierre Grisvard del 1975 sulla somma di operatori commutanti in spazi di Banach ha risolto problemi di regolarità per equazioni paraboliche lavorando in spazi di interpolazione e in particolare in spazi holderiani, e ha ispirato una quantità di risultati più recenti di regolarità massimale in problemi ellittici e parabolici. Un altro lavoro con Grisvard del 1979, su equazioni di evoluzione astratte non lineari in spazi di interpolazione, ha aperto la strada allo studio di equazioni paraboliche non lineari (in particolare, completamente nonlineari) con metodi di equazioni in spazi di Banach. Le sue ricerche in questi campi hanno attraversato tutto il suo percorso di studio, ricongiungendosi mirabilmente negli ultimi due decenni nella teoria delle equazioni ellittiche e paraboliche in dimensione infinita associate ad equazioni di evoluzione stocastiche in spazi di Hilbert.
Negli anni 70 Da Prato si rese conto che i suoi risultati sulle equazioni di evoluzione in spazi di dimensione infinita potevano essere applicati con successo per risolvere problemi di teoria dei controlli, in particolare equazioni operatoriali tipo Riccati o di tipo Hamilton-Jacobi-Bellman.
Questo collegamento gli venne probabilmente dalla conoscenza dei primi lavori di J.L.Lions sui controlli in dimensione infinita. Dopo questi primi lavori, nel 1980 Da Prato iniziò una lunga collaborazione con Viorel Barbu culminata nel 1983 con un libro sull'argomento. In questo libro, in un altro successivo (con Alain Bensoussan, Michel Delfour e Sanjoy Mitter) e in altri lavori Da Prato mostrò come il suo approccio alle equazioni di evoluzione tramite le teoria dei semigruppi e degli operatori dissipativi permetteva di studiare con successo le equazioni di Riccati e di Hamilton-Jacobi in dimensione infinita, sia nel caso deterministico che stocastico. Tali equazioni non erano di fatto state studiate in letteratura e i lavori di Da Prato e coautori sono stati i primi ad affrontarli in modo sistematico.
Data la grande importanza applicativa di questi problemi di controllo, in particolare in campi quali Ingegneria ed Economia, i lavori di Da Prato, oltre a generare un'ampia letteratura, hanno dato un contributo importante all'applicazione della matematica in questo campo.
Intorno agli inizi degli anni 80, Da Prato intuì la potenza dell'approccio basato sulla teoria dei semigruppi nell'ambito dell'allora emergente teoria delle equazioni alle derivate parziali stocastiche e nell'arco di pochi anni scrisse con Jerzy Zabczyk tre libri fondamentali sull'approccio semigruppale alle equazioni stocastiche in dimensione infinita, libri che coprono un'area vastissima di problematiche fondazionali e di interesse per le applicazioni. Fu una vera e propria rivoluzione e generò una grande quantità di ricerca da parte di tantissimi studiosi.
Man mano che i fondamenti di questa nuova teoria diventavano sempre più solidi e trasparenti, emergevano problemi più specifici e difficili, prima inattaccabili. Anche lì Da Prato diede contributi decisivi, tra i quali i lavori con Arnaud Debussche sia sulla quantizzazione stocastica ed i primi metodi di rinormalizzazione, che sono considerati precursori delle odierne teorie delle regularity structures e rinormalizzazione di equazioni stocastiche singolari, sia sulle equazioni di Navier-Stokes stocastiche in dimensione tre.
Quest'ultimo tema è stato tra i più cari a Beppe Da Prato negli ultimi due decenni. Esso si collega ad uno dei famosi problemi aperti del millennio, quello della buona positura delle equazioni di Navier-Stokes in dimensione tre. A causa dei numerosi risultati, per sistemi assai più semplici, che affermano che l'aggiunta di un opportuno rumore può restituire la buona positura di problemi a cui manca, vari studiosi hanno tentato di dimostrare che qualche variante stocastica di quelle equazioni della fluidodinamica era ben posta. Il problema resta aperto ma il contributo tecnico più avanzato è dovuto al sopracitato lavoro di Da Prato e Debussche del 2003. Da Prato amava molto questo tema, su cui ha continuato ad esprimere idee e congetture per molti anni.
L'analisi stocastica in dimensione infinita si potrebbe dire l'ultima grande avventura di Da Prato. In dimensione finita è ben noto il legame tra il moto browniano e processi più complessi con l'equazione del calore ed altre equazioni alle derivate parziali; simili legami si hanno anche in dimensione infinita. Da Prato ha dato contributi decisivi allo sviluppo di questa teoria, permettendo oggi di trattare le equazioni di Kolmogorov in infinite variabili ancora come equazioni di evoluzione in spazi di Banach, con le tecniche di semigruppi e analisi funzionale adattate a questo contesto.